Практика космических запусков  подтверждает правоту Галилея

По поводу статьи М.М.Богословского «Падают ли тела на Землю с одинаковым ускорением?»

Николай КУДРЯКОВ, самозанятый консультант по школьной физике и школьной математике

М. Богословский заявляет об ошибочности представлений о том, что ускорение силы тяжести есть величина, не зависящая от массы, размеров и формы тела. Также он заявляет об ошибочности утверждений о том, что эта  независимость неоднократно подтверждена наблюдениями и опытом.

Автор считает, что единственный эксперимент, на основе которого делается подобный вывод, был сделан еще Галилеем, но приборы Галилея были недостаточно точными; тем не менее Галилею поверили и никому на протяжении 400 лет не пришло в голову подобный опыт повторить. Такой опыт был осуществлен с участием М.Богословского с использованием современных приборов, и было получено, что тело массой 800 г, падая с высоты 25 метров, упало на землю 2 с раньше, чем тело массой 30 г. На основании этого опыта следует перечеркнуть положения энциклопедий, справочников и школьных учебников.

Что показывает описанный автором опыт? Он показывает, что единожды измеренное время падения одного тяжелого тела оказалось на две секунды меньше, чем одного отдельно взятого легкого.  Ничего более. Никаких обобщений на основании этого одного отдельно взятого измерения сделать нельзя. Чтобы установить закономерность, нужно установить повторяемость. Нужно сделать серию замеров времен падения одного тела – например, сначала более тяжелого. Значения образуют разброс, и нужно, обработав множество полученных результатов, установить усредненное время с указанием полученной погрешности. Затем выполнить серию сбросов второго тела. У нас получится вторая совокупность данных. И очень может быть, что некоторые времена из первого множества окажутся действительно меньше, чем из второго. Но сделать вывод о том, что первое – более тяжелое - тело закономерно падало быстрее, можно будет только в том случае, если это подтвердит сравнение двух множеств измерений. Но! Но если даже окажется, что в этом цикле измерений первое – тяжелое – тело действительно падало быстрее, то из этого не следует что вообще ВСЕ тяжелые тела падают быстрее чем легкие. Для подобного обобщения нам придется выполнить серию серий таких бросаний с различными сочетаниями масс. Вот тогда  - и не ранее – мы сможем утверждать, что тяжелые тела в принципе падают быстрее, чем легкие.

Возникает вопрос: а разве Галилей выполнил серию опытов с разными шарами и с разными высотами?

Опыты, подтверждающие относительное постоянство ускорения силы тяжести у поверхности Земли, были неоднократно выполнены после и помимо Галилея. Так что утверждение автора о том, что 400 лет никто этим не занимался, попросту неверно. Причем не только посредством измерения времен падения – еще через измерение периода колебаний маятника, каковой   период прямо пропорционален квадратному корню из ускорения силы тяжести.

С помощью маятниковых приборов была неоднократно подтверждена не только каноническая величина 9.81, но были описаны аномалии этой величины, зависящие от географической широты, от рельефа, от распределения масс в объеме земного, с позволения сказать, шара и от отклонений реальной формы Земли от шарообразной. Этим занимается целая наука – гравиметрия,

Гравиметрия (от лат. gravis — тяжёлый и ...метрия ) -  раздел науки об измерении величин, характеризующих гравитационное поле Земли и об использовании их для определения фигуры Земли, изучения её общего внутреннего строения, геологического строения её верхних частей, решения некоторых задач навигации …. В перспективе перед Г. стоит задача изучения Луны и планет по их гравитационному полю. <…> 

Существует специальная гравиметрическая аппаратура для измерений силы тяжести с движущихся объектов (подводных и надводных кораблей, самолётов) <…>. 

Знание детального строения гравитационного поля Земли необходимо … при расчёте орбит искусственных спутников Земли…

Большая Советская Энциклопедия

О гравиметрической экспедиции на советских подводной лодке  в 1958-1959 гг. в Тихом океане с подачи автора этих строк рассказано на PROATOMe и в «Атомная стратегии»[1].

Но дело не только в измерениях ускорения силы тяжести как такового. Дело в том, как использовалось знание и этой усредненной величины  9.81, и её аномалий. А практика её использования подтверждает правоту Галилея. Эта величина – ускорение свободного падения – очень важна для анализа и прогнозирования движения тел, совершающих это самое свободное падение: от артиллерийских снарядов до космических аппаратов. Практическая применимость моделей, на которых выполняются баллистические  расчеты – вот подтверждение адекватности представлений об ускорении свободного падения.

В частности – и в первую очередь! – через ускорение свободного падения у поверхности Земли может быть вычислена первая космическая скорость (между нами говоря, и вторая космическая – тоже). Если мы запускаем искусственные спутники Земли, зная, какая необходима скорость – это равносильно тому, что мы знаем величину ускорения свободного падения как у поверхности Земли, так и на высоте полета спутника.

Величина первой космической скорости потому и равна 7.91 км/с, что ускорение свободного падения равно 9.81 м/с². 

Если мы, как предлагает М. Богословский, должны вычеркнуть из учебников значение ускорения g = 9.81, то мы тут же должны вычеркнуть и само значение скорости v_I = 7.91, и упоминания о том, что эта скорость когда-либо была достигнута.

Между тем практика космических запусков – вот та экспериментальная база, которая продолжает опыт Галилея и подтверждает его правоту.  

Практика космических запусков доказывает, что ускорения, с которыми свободно, т.е. без реактивной тяги, движутся космические аппараты, действительно не зависят от их массы, размеров и формы. Если  тела разной массы, размеров и формы могут неподвижно находиться друг рядом с другом, то это означает, что в системе отсчета, связанной с Землей они движутся - падают вокруг Земли - с одинаковыми скоростями и ускорениями.

Рис. 1. Полет по геоцентрической орбите есть не что иное, как свободное падение тела, брошенного под углом к горизонту. Космические аппараты, находящиеся на одной орбите, движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями, которые не зависят их от масс, формы и размеров. На снимке: международная космическая станция и (слева) американский многоразовый космический корабль типа «Спейс шаттл».

Человек, выходящий в открытый космос, также может лететь рядом с кораблем с таким же ускорением и скоростью, как и корабль – несмотря разницу в массе. Уместно в этой связи вспомнить фразу из доклада командира космического корабля «Восход-2» Павла БЕЛЯЕВА: «Человек вышел в космическое пространство. Находится в свободном плавании». Это означало, что второй космонавт – Алексей ЛЕОНОВ – находится вне корабля, не имея опоры и что относительно корабля его скорость практически равна нулю, а в системе отсчета, связанной с Землей, он движется с таким же е ускорением и с такой же скоростью, как и корабль.

С какими же ускорениями двигались рядом со своими кораблями Алексей Леонов, его тезка Алексей Елисеев, Евгений Хрунов, Эдвард Уайт и прочие и прочие? С ускорением  свободного падения, характерного для расстояния от центра Земли до корабля и соответствующей этому расстоянию высоте орбиты.

Рис. 2. Человек в открытом космосе движется с таким же ускорением и скоростью, что и его корабль, несмотря большую – более чем пятидесятикратную - разницу в массе. Космонавт Алексей ЛЕОНОВ во время выхода в открытый космос рядом с кораблем «Восход-2». Вверху: кадр кинохроники, внизу: компьютерная реконструкция для художественного фильма «Время первых» (смотреть всем!).

Автор напрасно сетует, что человечество после Галилея не занимается измерениями параметров движения свободно падающих тел, что хорошо бы этим заняться. Мы прекрасно можем обойтись без метеоров и болидов, у нас есть практически значимый класс объектов, движущихся под действием силы тяжести, а значит, совершающих свободное падение: космические аппараты, летящие по геоцентрическим орбитам.

Автор пишет: «Пока не проведены замеры ускорения свободного падения тел разной массы, разных размеров и форм с разных высот … говорить о величине ускорения свободного падения тел преждевременно». Ускорения и скорости движения тел разной массы (включая Луну), разных размеров и форм на разных высотах (включая опять же Луну) измерены, и посчитаны. Посчитаны – через закон всемирного тяготения, как это показано выше, измерены – в ходе наблюдений за параметрами траекторий космических аппаратов. И эти расчеты и измерения подтверждают правоту Галилея.

*   *   *

Несколько слов о стробограмме падающего шарика из школьного учебника.

Автор пишет, что, судя по приведенным данным, скорость шарика в момент последнего замера равна 246 см/с. Время падения шарика 0.5 с. Если мы приращение скорости, равное, при нулевых начальных условиях, конечной скорости, т.е. 246 см/с, разделим на время, то получим ускорение. Делим 246 на 0.5, получаем 4.92 м/с². Но никак не 9.81.

Это было бы справедливо, если бы из приведенных в учебнике данных действительно вытекала бы скорость 246 см/с.

Но в приведенных опытах скорость не измерялась и не вычислялась.  

Измерялась координата шарика по вертикальной линейке. По координате, точнее, по пройденному пути, вычислялось ускорение – по известной формуле:

Число 246 – это удвоенная координата высоты, мимо которой пролетел шарик во время последнего стробоскопирования. Авторы эксперимента делят эту величину на квадрат времени, т.е. на 0.25 с² и получают ускорение, равное 9.84 м/с², что совсем неплохо.

Рис. 3. Стробограмма падающего шарика из учебника физики для 9 класса А.В. Перышкина и Е.М. Гутника. Величина 123 см – координата шарика в момент последнего замера. 246 – она же, умноженная на 2, но никак не скорость.

*   *   *

И несколько слов из того, чему учу детей я, не считая себя умнее Галилея и в качестве самозанятого, ага, репетитора по физике и математике.

Пусть на расстоянии R от Земли  имеется тело массой m . Между этим телом и Землей действует сила, величина которой определяется законом всемирного тяготения:

С данным ускорением движется любое тело, находящееся в поле тяготения Земли и на которое никакие другие силы, кроме силы тяготения Земли, не действуют.

Из выражения (3) видно, что  это ускорение не зависит от массы тела, оно зависит от массы Земли и от расстояния между Землей и телом.

Равным образом это ускорение не зависит от того, как движется тело:- летит ли оно вертикально вниз к центру Земли (угол между ускорением и скоростью равен нулю) или вертикально вверх (угол между ускорением и скоростью равен 180°).

Интересным частным случаем является такое движение, когда векторы ускорения и скорости взаимно перпендикулярны. Это происходит при движении космического аппарата по круговой орбите: ускорение направлено к центру Земли, а скорость – перпендикулярно этой вертикали; вперед, по касательной к линии горизонта и к траектории.

Рис. 4. При движении спутника по круговой геостационарной орбите векторы скорости v и ускорения g взаимно перпендикулярны.

Во всех этих случаях можно – и правильно! – говорить, что мы имеем свободное падение тел под действием силы тяжести. Движение спутника по орбите вокруг Земли – это, строго говоря, тоже падение; это, во всяком случае, движение с ускорением, которое всегда направлено к центру Земли, и модуль которого определяется выражением 3).

Если масса планеты может считаться величиной условно постоянной, то расстояние может изменяться в самых широких пределах.

Пусть размеры тела бесконечно малы по сравнению с размерами Земли, т.е. тело рассматривается как материальная точка, и пусть расстояние между центрами масс тела и Земли равно радиусу Земли. Это означает, что расстояние между центром масс тела и поверхностью Земли равно нулю или бесконечно мало отличается от нуля. Иначе говоря, тело находится на поверхности Земли либо бесконечно близко к поверхности Земли.

Эту характерную величину и принято называть ускорением свободного падения (или ускорением силы тяжести у поверхности Земли) обозначать через g.

Эта величина не есть мировая константа, подобная скорости света. Она характерна только для планеты, по размерам и по массе  подобной Земле, и только вблизи ее условной поверхности, т.е. на расстоянии 6371 км от центра шара, имеющего объем, равный объему Земли.

Реальное ускорение силы тяжести в разных точках поверхности Земли разное – как вследствие того, что Земля – не шар, так и того, что плотность по объему Земли распределена неравномерно.  

Но генеральная тенденция в изменении ускорения силы тяжести состоит в её монотонном уменьшении по мере удаления от центра и от поверхности планеты – в соответствии с видом функции (3).

На высоте 100 км[2], т.е. на расстоянии 6371 + 100 км от центра Земли, ускорение силы тяжести составит

Это уже почти на 12% меньше чем у поверхности Земли.

На высоте полета спутника «Космос-122», запущенного 25 июня 1966 года и ставшего первым аппаратом в составе отечественной метеорологической системы «Метеор», равной 650 км, ускорение силы тяжести составляет:

Это уже более чем на 17% меньше, чем у поверхности Земли.

На расстоянии от поверхности Земли, равном одному радиусу, т.е. на расстоянии от центра Земли, равному двум радиусам, величина ускорения свободного падения уменьшится в 4 (ЧЕТЫРЕ) раза и будет равна 2.45 .

На высоте т.н. геостационарной орбиты, т.е. на высоте порядка 35 тыс. км,  ускорение силы тяжести составляет 0.224 м/с². Это уже почти в 44 раза меньше, чем у поверхности Земли.

Существует простое выражение, позволяющее определить ускорение силы тяжести на произвольном расстоянии от планеты, если известны радиус планеты и ускорение свободного падения на её поверхности.

Действительно, на произвольном расстоянии ускорение силы тяжести определяется выражением

т.е. ускорение силы тяжести Земли на орбите Луны почти в 4 тыс. раз меньше, чем на поверхности Земли.

Рис.5.  Зависимость ускорения силы тяжести от расстояния, измеренного от условной поверхности земли (км). На расстоянии, равном нулю, ускорение силы тяжести равно 9.81.  Красная горизонтальная линия отмечает значение ускорения силы тяжести на расстоянии от поверхности Земли, равном радиусу Земли.

Задача 42[3].

Искусственный спутник обращается по круговой орбите на высоте h = 600 км от поверхности планеты со скоростью v = 3.4 км/с. Радиус планеты равен R_П= 3400 км. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности планеты?

Решение.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты применительно к условиям задачи проще всего определить через ускорение свободного падения на орбите.

Пусть a – ускорение свободного падения на орбите, g – искомое ускорение свободного падения на поверхности планеты, R_П и R – радиус планеты и радиус орбиты соответственно.

Тогда, поскольку ускорение на произвольном расстоянии от центра планеты определяется как

*  *  *

Возвращаясь к статье М.М. Богословского.

P.S. К Военно-медицинской академии и её сотрудникам отношусь с уважением и трепетом.