Треугольник Паскаля и ТРЕУГОЛЬНИКИ ЦИМБАЛЮКА.

[Сергей Цимбалюк]

Эти МОИ треугольники -- просто ПРОПОРЦИОНАЛЬНО УВЕЛИЧЕННЫЕ копии Треугольника Паскаля.
КАЖДОЕ число в них -- СООТВЕТСТВУЕТ конкретному числу в Треугольнике Паскаля, но только УВЕЛИЧЕНО в несколько раз. В 3 раза, в 5 раз, в 7 раз ... В зависимости от того -- какой это треугольник.
А ведь Треугольником Паскаля людишки пользуются при возведении бинома Ньютона (а + b)n в натуральные степени !
Например :
(x + y)^5 = 1*x^5 + 5*x^4*y + 10*x^3*y^2 + 10*x^2*y^3 + 5*x*y^4 + 1*y^5
То есть МОИ ТРЕУГОЛЬНИКИ соответствуют формулам 3 * (а + b)^n, 5 * (а + b)^n, 7 * (а + b)^n, ...
И таким образом :
3 * (x + y)^5 = 3*x^5 + 15*x^4*y + 30*x^3*y^2 + 30*x^2*y^3 + 15*x*y^4 + 3*y^5
Нетрудно даже остепенённым ЛОХАМ сообразить, что таких ТРЕУГОЛЬНИКОВ ЦИМБАЛЮКА -- может быть БЕСКОНЕЧНОЕ множество !
И если учесть, что и в ИЗНАЧАЛЬНОМ Треугольнике Паскаля тоже БЕСКОНЕЧНОЕ количество СТРОК -- то для бинома Ньютона получается умножение бесконечности на бесконечность.
n * (а + b)^n
-----------------

[Гость]

Цепные реакции не идеальны. Если рассчитывать их треуголниками Паскаля, взорвется все. Нет, бывают же идиоты

[Сергей Цимбалюк]

А Я, что ли, придумал само понятие -- "идеальная цепная реакция" ???
НЕТ, это придумали ДРУГИЕ идиоты !
Со степенями да званиями.

[я есмь]

и как земля таких недоумков носит,./?тяжело ведь

[Gorby]

Треугольник Паскаля - это числовой треугольник, в котором первый и последний элемент каждой строки равен 1, а остальные элементы вычисляются путем сложения двух элементов, расположенных над ним.

Цепная реакция в треугольнике Паскаля начинается с выбора произвольного числа в нижней строке треугольника. Затем для каждой последующей строки треугольника мы выбираем те элементы, которые находятся под четными номерами (нумерация элементов начинается с 0). Затем мы складываем все выбранные элементы и продолжаем этот процесс для следующей строки. Это приводит к цепной реакции, которая может быть использована для вычисления различных комбинаторных и вероятностных величин.

Например, если мы начнем с числа 1 в нижней строке и применим цепную реакцию для треугольника Паскаля, мы получим следующую последовательность чисел:

1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, ...

Эти числа называются биномиальными коэффициентами и имеют много важных свойств и приложений в комбинаторике и теории вероятностей

[Сергей Цимбалюк]

Ну, ЭТУ последовательность 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, ... -- ведь видно СРАЗУ !
Для начала ПОСЧИТАЕМ числа Треугольника Паскаля :
1 = 1 = 1 * 2⁰
1 + 1 = 2 = 1 * 2¹
1 + 2 + 1 = 4 = 1 * 2²
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 1 * 2³
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 1 * 2⁴
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 1 * 2⁵
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 1 * 2⁶
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 1 * 2⁷
1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 1 * 2⁸
1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 512 = 1 * 2⁹
1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 1024 = 1 * 2¹⁰

Второй столбик : 1, 2, 3.
Третий столбик : 3, 6, 10.
Четвёртый столбик : 10, 20, 35.
Пятый столбик : 35, 70, 126.

1 = 1 = 1 * 2⁰
1 + 1 = 2 = 1 * 2¹
1 + 2 + 1 = 4 = 1 * 2²
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 1 * 2³
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 1 * 2⁴
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 1 * 2⁵
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 1 * 2⁶
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 1 * 2⁷
1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 1 * 2⁸
1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 512 = 1 * 2⁹
1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 1024 = 1 * 2¹⁰

Вот такая получается красивая лесенка Бинома Ньютона -- в Треугольнике Паскаля !

[Сергей Цимбалюк]

Понятия НЕ имел, что ЭТО какая-то последовательность A001405

Ни много ни мало -- Central Binomial Coefficient !!!

И во какую наукообразную ХРЕНЬ про неё пишут научники не по-нашему :

А less common alternative definition of the nth central binomial coefficient of which the above coefficientsare a subset is (n; |_n/2_|), where |_n_| is the floor function.The first few values are 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, 252, ... (OEIS A001405).The central binomial coefficients have generatingfunction

(1-4x^2-sqrt(1-4x^2))/(2(2x^3-x^2))=1+2x+3x^2+6x^3+10x^4+....

Согласитесь, что МОЙ метод нахождения ЭТОЙ же последовательности (придуманный мною ЗА ПЯТЬ МИНУТ !!!) -- в 100 раз проще этой наукообразной ХРЕНИ !

[Сергей Цимбалюк]

A001405 a(n) = binomial(n, floor(n/2)).
(Formerly M0769 N0294) 405

1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, 252, 462, 924, 1716, 3432, 6435, 12870, 24310, 48620, 92378, 184756, 352716, 705432, 1352078, 2704156, 5200300, 10400600, 20058300, 40116600, 77558760, 155117520, 300540195, 601080390, 1166803110

В самой этой последовательности числа ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО подобраны ПО ДВА, и второе в ДВА раза больше первого.
Например :
462, 924
462 * 2 = 924

352716, 705432
352716 * 2 = 705432

300540195, 601080390
300540195 * 2 = 601080390

[Сергей Цимбалюк]

Между прочим, ТАКУЮ СДВИНУТУЮ ВЛЕВО форму Треугольника Паскаля -- придумал НЕ я !!!
Это местный ГРАФИЧЕСКИЙ РЕДАКТОР когда-то давно -- взял и изобразил Треугольник Паскаля ТАКИМ образом.
1 = 1 = 1 * 2⁰
1 + 1 = 2 = 1 * 2¹
1 + 2 + 1 = 4 = 1 * 2²
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 1 * 2³
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 1 * 2⁴
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 1 * 2⁵
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 1 * 2⁶
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 1 * 2⁷
1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 1 * 2⁸
1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 512 = 1 * 2⁹
1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 1024 = 1 * 2¹⁰

Вот ОБЩЕПРИНЯТАЯ математическими людишками ФОРМА Треугольника Паскаля. Сколько же мне ставить тут точек !

………………………………………...1 = 1 = 1 * 2⁰
……………………………………. 1 + 1 = 2 = 1 * 2¹
...……………………………….1 + 2 + 1 = 4 = 1 * 2²
...............……………..1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 1 * 2³
.....................…..1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 1 * 2⁴
......................1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 1 * 2⁵
...............…..1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 1 * 2⁶
............…..1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 1 * 2⁷
…………....1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 1 * 2⁸
......…..1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 512 = 1 * 2⁹
………1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 1024 = 1 * 2¹⁰

Да, ТУТ смотрится НЕ так красиво …
Не "лестница", а скорее какая-то "змея" !